Дисципліна: Математичні методи оптимізації

Кількість годин (кредитів ЄКТС): 120 (4)

Мета навчальної дисципліни: надання майбутнім фахівцям основ науково-теоретичних знань та практичних навичок із математичних методів оптимізації та прийняття рішень.

У системі підготовки дисципліна займає особливе місце, оскільки вона як одна з небагатьох формує науково-технічний світогляд інженера.

Зміст дисципліни (тематика):

1. Вступ. Постановка задачі математичного програмування

Вступ. Загальні поняття. Формулювання задачі математичного програмування. Приклад задачі математичного програмування. Класифікація задач математичного програмування. Основні властивості функцій, що оптимізуються. Двоїстість задач математичного програмування.

2. Лінійне програмування

Лінійне програмування. Приклад задачі. Формулювання обмежень, що накладаються на функцію, яка оптимізується. Методи розв’язку задач лінійного програмування. Симплекс-метод. Матричний симплекс-метод. Цілочислове програмування. Транспортна задача.

3. Випукле програмування

Квадратичне програмування. Випукле програмування. Методи розв’язання задачі квадратичного програмування. Пошукові методи (без обчислення похідних). Одновимірні методи оптимізації унімодальних функцій. Метод Фібоначчі, метод “золотого перетину”.

4. Методи пошуку безумовного екстремуму першого порядку

Методи пошуку екстремуму функцій без обмежень (безумовна оптимізація функцій). Методи прямого пошуку. Методи Розенброка та Девіса. Метод Пауела. Методи випадкового пошуку. Методи першого порядку. Градієнтний метод пошуку екстремуму. Метод спряжених градієнтів. Методи змінної метрики. Метод Девідона – Флетчера – Пауела. Побудова відповідних алгоритмів розв’язку задач.

5. Методи пошуку безумовного екстремуму другого порядку

Методи другого порядку пошуку безумовного екстремуму. Метод Ньютона та Ньютона-Рафсона. Квазіньютоновські методи. Порівняння методів розв’язку задач без обмежень.

6. Нелінійні задачі з обмеженнями – пошук умовного екстремуму

Задачі нелінійного програмування з обмеженнями у вигляді рівностей. Метод множників Лагранжа. Алгоритми мінімізації при лінійних обмеженнях, що не потребують обчислення похідних цільової функції. Методи, в яких на кожній ітерації розв’язується задача квадратичного або лінійного програмування. Факторизована форма алгоритмів.

7. Методи пошуку екстремуму для задач великої розмірності

Методи розв’язку задач великої розмірності з лінійними обмеженнями. Чисельні методи розв’язку великих систем лінійних рівнянь із розрідженими матрицями. Ітераційні методи. Прямі методи, що ґрунтуються на розкладанні матриць. Методи декомпозиції.

8. Методи пошуку екстремуму задач з обмеженнями у вигляді нерівностей та рівностей

Методи нелінійного програмування при наявності обмежень у вигляді рівностей та нерівностей. Апроксимуюче лінійне програмування. Проективні методи нелінійного програмування. Метод допустимих напрямків (метод Зойтендейка). Розробка алгоритмів розв’язку, що орієнтовані на комп’ютерну реалізацію.

9. Методи карних функцій

Методи штрафних функцій. Метод узагальнених множників Лагранжа. Сідлова точка функції Лагранжа. Метод послідовної безумовної мінімізації (комбінований метод штрафних функцій). Процедури пошуку допустимих точок. Алгоритми реалізації методу послідовної безумовної оптимізації. Оцінка ефективності методів нелінійного програмування.

Види робіт: лекційні заняття, лабораторні роботи, модульні контрольні роботи, самостійна робота студентів.