Дисципліна: Математика (алгебра і початки аналізу та геометрія)

Обсяг дисципліни, годин (кредитів ЄКТС): 224 год (7,46 кредитів ЄКТС).

Метою навчальної дисципліни є:

формування ставлення до математики як невід’ємної складової загальної культури людини, необхідної умови її повноцінного життя в сучасному суспільстві на основі ознайомлення з ідеями і методами математики як універсальної мови науки і техніки, ефективного засобу моделювання і дослідження процесів і явищ навколишнього світу;
забезпечення оволодіння математичною мовою, розуміння ними математичної символіки, математичних формул і моделей як таких, що дають змогу описувати загальні властивості об’єктів, процесів та явищ;
формування здатності логічно обґрунтовувати та доводити математичні твердження, застосовувати математичні методи у процесі розв’язування навчальних і практичних задач, використовувати математичні знання і вміння під час вивчення інших навчальних предметів;
розвиток умінь працювати з підручником, опрацьовувати математичні тексти, шукати і використовувати додаткову навчальну інформацію, критично оцінювати здобуту інформацію та її джерела, виокремлювати головне, аналізувати, робити висновки, використовувати отриману інформацію в особистому житті;
формування здатності оцінювати правильність і раціональність розв’язування математичних задач, обґрунтовувати твердження, приймати рішення в умовах неповної, надлишкової, точної та ймовірнісної інформації.

Завдання навчальної дисципліни:

формування системи функціональних понять, умінь використовувати функції та їх графіки для характеристики залежностей між величинами, опису явищ і процесів;
забезпечення оволодіння учнями мовою алгебри, уміннями здійснювати перетворення алгебраїчних виразів, розв’язувати рівняння, нерівності та їх системи, моделювати за допомогою рівнянь реальні ситуації, пояснювати здобуті результати;
забезпечення оволодіння мовою геометрії, розвиток їх просторових уявлень і уяви, умінь виконувати основні геометричні побудови за допомогою геометричних інструментів (лінійки з поділками, транспортира, косинця, циркуля і лінійки);
формування знань про геометричні фігури на площині, їх властивості, а також умінь застосовувати здобуті знання у навчальних і життєвих ситуаціях;
формування уявлення про найпростіші геометричні фігури в просторі та їх властивості, а також первинних умінь застосовувати їх у навчальних і життєвих ситуаціях;
ознайомлення зі способами і методами математичних доведень, формування умінь їх практичного використання;
формування знань про основні геометричні величини (довжину, площу, об’єм, міру кута), про способи їх вимірювання й обчислення для планіметричних і найпростіших стереометричних фігур, а також уміння застосовувати здобуті знання у навчальних і життєвих ситуаціях;
вивчення геометричних перетворень площини та їх найпростіших властивостей, а також розвиток в учнів функціональних уявлень на геометричному змісті.

Попередні умови для вивчення даної дисципліни: алгебра і геометрія 7-9 класів.

Навчальні цілі дисципліни полягають у формуванні у студентів:

інтегративної компетентності: здатність розв’язувати складні задачі та практичні проблеми у математиці або у процесі навчання, що передбачає застосування теорій та методів математики, статистики й комп’ютерних технологій і характеризується комплексністю та невизначеністю умов;

загальних компетентностей:

ЗК-1 Здатність до абстрактного мислення, аналізу та синтезу;

ЗК-2 Здатність застосовувати знання у практичних ситуаціях;

ЗК-3 Знання й розуміння предметної області та професійної діяльності;

ЗК-4 Здатність спілкуватися державною мовою як усно, так і письмово;

ЗК-5 Здатність спілкуватися іноземною мовою;

ЗК-6 Навички використання інформаційних і комунікаційних технологій;

ЗК-7 Здатність учитися і оволодівати сучасними знаннями;

ЗК-8 Здатність до пошуку, обробки та аналізу інформації з різних джерел;

ЗК-9 Здатність приймати обґрунтовані рішення;

ЗК-10 Здатність працювати в команді;

ЗК-11 Здатність спілкуватися з представниками інших професійних груп різного рівня (з експертами з інших галузей 7 знань);

ЗК-12 Здатність працювати автономно;

ЗК-13 Визначеність і наполегливість щодо поставлених завдань і взятих обов’язків;

ЗК-14 Здатність реалізувати свої права і обов’язки як члена суспільства, усвідомлювати цінності громадянського (вільного демократичного) суспільства та необхідність його сталого розвитку, верховенства права, прав і свобод людини і громадянина в Україні;

ЗК-15 Здатність зберігати та примножувати моральні, культурні, наукові цінності і досягнення суспільства на основі розуміння історії та закономірностей розвитку предметної області, її місця у загальній системі знань про природу і суспільство та у розвитку суспільства, техніки і технологій, використовувати різні види та форми рухової активності для активного відпочинку та ведення здорового способу життя;

фахових компетентностей:

СК-1 Здатність формулювати проблеми математично та в символьній формі з метою спрощення їхнього аналізу й розв’язання;

СК-2 Здатність подавати математичні міркування та висновки з них у формі, придатній для цільової аудиторії, а також аналізувати та обговорювати математичні міркування інших осіб, залучених до розв’язання тієї самої задачі;

СК-3 Здатність здійснювати міркування та виокремлювати ланцюжки міркувань у математичних доведеннях на базі аксіоматичного підходу, а також розташовувати їх у логічну послідовність, у тому числі відрізняти основні ідеї від деталей і технічних викладок;

СК-4 Здатність конструювати формальні доведення з аксіом та постулатів і відрізняти правдоподібні аргументи від формально бездоганних;

СК-5 Здатність до кількісного мислення;

СК-6 Здатність розробляти і досліджувати математичні моделі явищ, процесів та систем; СК-7 Здатність застосовувати чисельні методи для дослідження математичних моделей; СК-8 Здатність до аналізу математичних структур, у тому числі до оцінювання обґрунтованості й ефективності використовуваних математичних підходів;

СК-9 Здатність застосовувати спеціалізовані мови програмування та пакети прикладних програм;

СК-10 Здатність використовувати обчислювальні інструменти для чисельних і символьних розрахунків;

Програмні результати навчання:

РН-1 Знати основні етапи історичного розвитку математичних знань і парадигм, розуміти сучасні тенденції в математиці;

РН-2 Розуміти правові, етичні та психологічні аспекти професійної діяльності;

РН-3 Знати принципи modus ponens (правило виведення логічних висловлювань) та modus tollens (доведення від супротивного) і використовувати умови, формулювання, висновки, доведення та наслідки математичних тверджень;

РН-4 Розуміти фундаментальну математику на рівні, необхідному для досягнення інших вимог освітньої програми;

РН-5 Мати навички використання спеціалізованих програмних засобів комп’ютерної та прикладної математики і використовувати інтернет-ресурси;

РН-6 Знати методи математичного моделювання природничих та/або соціальних процесів; РН-7 Пояснювати математичні концепції мовою, зрозумілою для нефахівців у галузі математики;

РН-8 Здійснювати професійну письмову й усну комунікацію українською мовою та однією з іноземних мов;

РН-9 Уміти працювати зі спеціальною літературою іноземною мовою;

РН-10 Розв’язувати задачі придатними математичними методами, перевіряти умови виконання математичних тверджень, коректно переносити умови та твердження на нові класи об’єктів, знаходити й аналізувати відповідності між поставленою задачею й відомими моделями;

РН-11 Розв’язувати конкретні математичні задачі, які сформульовано у формалізованому вигляді; здійснювати базові перетворення математичних моделей;

РН-12 Відшуковувати потрібну науково-технічну інформацію у науковій літературі, базах даних та інших джерелах інформації;

РН-13 Знати теоретичні основи і застосовувати методи математичного аналізу для дослідження функцій однієї та багатьох дійсних змінних;

РН-14 Знати теоретичні основи і застосовувати методи аналітичної та диференціальної геометрії для розв’язування професійних задач;

РН-15 Знати теоретичні основи і застосовувати алгебраїчні методи для вивчення математичних структур;

РН-16 Знати теоретичні основи і застосовувати методи топології, функціонального аналізу й теорії диференціальних рівнянь для дослідження динамічних систем;

РН-17 Знати теоретичні основи і застосовувати основні методи теорії ймовірностей, теорії випадкових процесів і математичної статистики для дослідження випадкових явищ, перевірки гіпотез, обробки реальних даних та аналізу тривалих випадкових явищ;

РН-18 Знати теоретичні основи і застосовувати методи теорії функцій комплексної змінної;

РН-19 Знати теоретичні основи і застосовувати методи математичної фізики для 9 моделювання реальних фізичних, біологічних, екологічних, соціальноекономічних та інших процесів і явищ;

РН-20 Розв’язувати основні математичні задачі аналізу даних; застосовувати базові загальні математичні моделі для специфічних ситуацій, мати навички управління інформацією, і застосування комп’ютерних засобів статистичного аналізу даних;

РН-21 Розв’язувати типові задачі математичного аналізу, алгебри, диференціальних та інтегральних рівнянь, оптимізації за допомогою чисельних методів.

У результаті вивчення навчальної дисципліни студент повинен

знати та вміти:

o обчислює за формулами значення величин, використовуючи різні одиниці вимірювання;

o користується різними способами задання функцій;

o знаходить природну область визначення функціональних залежностей;

o встановлює за графіком функції її основні властивості; досліджує властивості функцій; обчислює, оцінює та порівнює значення виразів, які містять степені з раціональними показниками, корені; розпізнає та зображує графіки степеневих функцій;

o вміє переходити від радіанної міри кута до градусної й навпаки; встановлює відповідність між дійсними числами і точками на одиничному колі;

o обчислює значення тригонометричних виразів і наближені значення тригонометричних виразів із заданою точністю за допомогою обчислювальних засобів;

o розпізнає і будує графіки тригонометричних функцій; ілюструє властивості тригонометричних функцій за допомогою графіків;

o перетворює нескладні тригонометричні вирази;

o застосовує тригонометричні функції до опису реальних процесів, зокрема гармонічних коливань;

o розв'язує найпростіші тригонометричні рівняння;

o розпізнає і схематично будує графіки показникової і логарифмічної функцій;

o ілюструє властивості показникової і логарифмічної функцій за допомогою графіків;

o застосовує показникову та логарифмічну функції до опису реальних процесів;

o розв'язує найпростіші показникові та логарифмічні рівняння і нерівності.

o розуміє значення поняття похідної для опису реальних процесів, зокрема механічного руху;

o знаходить кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в даній точці;

o знаходить швидкість зміни величини в точці;

o диференціює функції, використовуючи таблицю похідних і правила диференціювання;

o застосовує похідну для знаходження проміжків монотонності і екстремумів функції;

o знаходить найбільше і найменше значення функції;

o розв'язує нескладні прикладні задачі на знаходження найбільших і найменших значень реальних величин.

o знаходить первісні за допомогою таблиці первісних та їх властивостей; виділяє первісну, що задовольняє задані початкові умови;

o обчислює інтеграл за допомогою таблиці первісних та їх властивостей;

o знаходить площі криволінійних трапецій;

o обчислює відносну частоту події;

o обчислює ймовірність події, користуючись її означенням і комбінаторними схемами;

o пояснює зміст середніх показників та характеристик вибірки;

o знаходить числові характеристики вибірки даних.

o класифікує взаємне розміщення прямих, прямих і площин, площин у просторі за кількістю їх спільних точок;

o встановлює взаємне розміщення прямих і площин у просторі, зокрема паралельність прямих, прямої та площини, двох площин, з'ясовує, чи є дві прямі мимобіжними;

o будує зображення фігур і на них виконує нескладні побудови;

o застосовує відношення паралельності між прямими і площинами у просторі до опису відношень між об'єктами навколишнього світу.

o встановлює перпендикулярність прямої та площини, двох площин;

o застосовує відношення між прямими і площинами у просторі, відстані і кути у просторі до опису об’єктів навколишнього світу;

o користується аналогією між векторами і координатами на площині й у просторі;

o усвідомлює важливість векторно-координатного методу в математиці;

o виконує операції над векторами, застосовує вектори для моделювання і обчислення геометричних і фізичних величин;

o розпізнає види тіл обертання, їхні елементи; многогранники і тіла обертання у їх комбінаціях в об’єктах навколишнього світу;

o будує зображення основних видів геометричних тіл, їх елементів, перерізів;

o обчислює основні елементи найпростіших геометричних тіл;

o встановлює властивості геометричних фігур;

o застосовує геометричні тіла для моделювання геометричних тіл;

o розв’язує задачі на обчислення об’ємів і площ поверхонь геометричних тіл, зокрема прикладного змісту.

Зміст дисципліни (тематика):

Тема 1. Функції, їх властивості і графіки

Числові функції, найпростіші властивості. Властивості і графіки основних функцій. Геометричні перетворення над графіками функцій. Побудова графіків за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій. Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го степеня. Перетворення коренів. Дії над коренями. Перетворення виразів, що містять корені та степені з раціональним показником. Узагальнене поняття степеня. Степенева функція, її графік і властивості.

Тема 2. Паралельність прямих і площин у просторі

Аксіоми стереометрії. Наслідки з аксіом стереометрії. Взаємне розміщення двох прямих. Паралельність прямих. Взаємне розміщення прямої і площини. Паралельність прямої і площини. Взаємне розміщення двох площин . Ознака паралельності площин. Властивості паралельних площин. Паралельне проектування і його властивості. Зображення фігур на площині.

Тема 3. Тригонометричні функції

Синус, косинус, тангенс, кута. Радіанне вимірювання кутів. Тригонометричні функції числового аргументу. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Тотожні перетворення тригонометричних виразів.Властивості і графік тригонометричних функцій. Періодичність функцій. Гармонічні коливання. Найпростіші тригонометричні рівняння.

Тема 4. Похідна та її застосування

Границя функції в точці. Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст. Правила диференціювання. Ознака сталості функції. Достатні умови зростання й спадання функції. Застосування похідної до дослідження функцій. Екстремуми функції. Застосування похідної до побудови графіків. Найбільше і найменше значення функції на проміжку.

Тема 5. Перпендикулярність прямих та площин у просторі

Перпендикулярність прямих у просторі. Ознака перпендикулярності прямих. Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини. Перпендикуляр і похила. Взаємозв’язок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій. Відстані у просторі. Теорема про три перпендикуляри. Перпендикулярність площин. Ознака перпендикулярності площин. Двогранні кути та їх вимірювання. Кути в просторі.

Тема 6. Показникова та логарифмічна функції

Показникова функція, її графік і властивості. Показникові рівняння. Показникові нерівності. Розв’язування показникових рівнянь і нерівностей. Логарифм числа. Властивості логарифмів. Логарифмічна функція, її властивості, графік. Логарифмічні рівняння. Логарифмічні нерівності. Розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей.

Тема 7. Координати та вектори у просторі

Прямокутна система координат у просторі. Відстань між точками. Координати середини відрізка. Симетрія відносно початку координат та відносно координатних площин. Означення і властивості векторів у просторі. Операції над векторами у просторі. Скалярний добуток векторів. Кут між векторами.

Тема 8. Інтеграл та його застосування

Первісна. Таблиця первісних. Основна властивість первісної. Правила знаходження первісних. Приклади задач, що приводять до поняття інтеграла. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Застосування інтеграла для обчислення площ геометричних фігур.

Тема 9. Многогранники

Многогранник та його елементи. Опуклі многогранники. Призма та її елементи. Пряма і правильна призма Перерізи призми. Паралелепіпед. Властивості паралелепіпеда. Піраміда. Правильна піраміда. Зрізана піраміда. Перерізи многогранників.

Тема 10. Елементи комбінаторики, теорії імовірностей та математичної статистики

Сполуки без повторення: перестановки, розміщення, комбінації. Комбінаторні задачі. Основі поняття теорії імовірності. Випадкова подія. Відносна частота подій. Ймовірність події. Вибіркові характеристики: розмах вибірки, мода, медіана, середнє значення. Графічне подання інформації про вибірку.

Тема 11. Тіла обертання

Поняття про тіла обертання. Циліндр. Перерізи циліндра площинами. Конус. Перерізи конуса площинами. Зрізаний конус. Куля і сфера. Переріз кулі площиною. Площина дотична до сфери. Площа сфери.

Тема 12. Об’єми та площі поверхонь геометричних тіл

Поняття об’єму. Об’єм призми та прямокутного паралелепіпеда. Рівновеликі піраміди. Об’єм піраміди. Обчислення об’ємів многогранників. Об’єми тіл обертання. Об’єм циліндра, конуса, кулі. Площі поверхонь тіл обертання. Площа поверхні циліндра. Площі поверхонь конуса і сфери.

Тема 13. Повторення і систематизація навчального матеріалу

Функції та їх властивості. Корінь n-го степеня і його властивості. Тотожні перетворення тригонометричних виразів. Тригонометричні рівняння. Паралельність у просторі. Перпендикулярність у просторі. Координати у просторі. Вектори у просторі. Похідна та її застосування. Інтеграл та його застосування. Показникова функція. Показникові рівняння та нерівності. Логарифмічна функція. Логарифмічні рівняння та нерівності. Многогранники. Площі поверхонь та об’єми многогранників. Тіла обертання. Площі поверхонь та об’єми тіл обертання.

Види робіт: лекції, практичні заняття, тести.

Форма підсумкового контролю: підсумкова атестація.